TEORIA

Ecuaciones

Link del video: 

https://www.youtube.com/watch?v=XDUFS7cnMRc

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1

Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Ejemplo:

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

Inecuación

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) <= g(x), f(x) > g(x) o f(x)>= g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

Todos los valores de x menores que -7 satisfacen la inecuación.

Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un número negativo una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

3x > -2
-9x < 6
x < -2/3

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones

5x + 6 < 3x - 8
3x > 2

La solución de la primera ecuación es:

5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

La solución de la segunda ecuación es:

3x > -2
x < -2/3

La solución del sistema sería x < -7.

Inecuaciones de segundo grado.

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.

x2 - 5x + 6 > 0

Las soluciones de la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde menos infinito hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta infinito .

x - 2 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e infinito.
x - 3 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:

x2 -5x + 6 es positivo para los valores entre menos infinito y 2.
x2 - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x2 - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.

Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador.

Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelven convirtiendo la función valor absoluto en dos inecuaciones

|x - 3| > 3

Conlleva que -3>(x-3)>3, luego

 x-3 >3
-3>x-3  

Son los puntos mayores que 0 y menores que 6.

Bibliografia

Técnicas Matemáticas de Resolución de Problemas. Recuperado de: http://departamento.us.es/dma1euita/TMRP/inecuaciones.htm

YouTube (13 abr. 2017) Ecuaciones e inecuaciones ejemplos. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=XDUFS7cnMRc

Tipos de ecuación 

En cualquier ecuación siempre participan letras y números, de acuerdo con esto, tendremos dos tipos de ecuaciones: 

Ecuaciones Numéricas: es aquella que participan números y una única letra que representa la incógnita.

ej:2x+37=8x+19 

Desarrollo 

Se agrupan los números que contengan la variable a un lado del igual y lo mismo con los números que no la contenga. 

Dato: cada vez que se pasa un número de un lado del igual a otro se cambia su signo, es decir, si el número esta positivo al lado derecho del igual, este pasa a ser negativo en el lado izquierdo y viceversa 

  2x-8x=19-37

Se hacen las operaciones iguales así:

-6x=-18     

Ahora el número que se encuentra multiplicando la x es decir el -6 pasa a dividir al lado derecho de la ecuación así:

x=(-18)/(-6)

En vista que se tiene una división de enteros negativos, el resultado de este debe de ser positivo, esto por ley de signos. El resultado de esta ecuación es el siguiente:

x=3

Ecuaciones Literarias: Son aquellas en las que participan una o más letras además de la incógnita y los números.

Ej.: a(x+b)=a^2+b^2+b(x-a)   

Clasificación de las ecuaciones de acuerdo al grado

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de la incógnita (la variable).

Pero veamos que significa Grado, en álgebra.

El grado de un monomio  o el de una expresión algebraica es un valor referido a los exponentes  de las  variables (referido a los números que indican la potencia de la variable; dicho en simple,  al numerito chico arriba de las letras). Entonces, el grado puede referirse a un monomio o a un polinomio, y para cada uno puede ser absoluto o relativo.

Grado absoluto de un monomio: es la suma de los exponentes de todas las letras o variables. El grado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Grado absoluto de un polinomio: está dado por aquel del término con más alto valor absoluto de todos los que componen la expresión o polinomio.

El grado absoluto de 6x 3 y 4 z 2 + x 5 y 2 es: 3 + 4 + 2 = 9 (que es el valor absoluto del término 6x 3 y 4 z 2).

Dato: Cuando una variable  (una letra) no posee exponente, se entiende que es 1, que no se escribe pero que se considera para la suma de exponentes de un término.

Así:

El grado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6 (el exponente de z es 1)

Grado relativo de un monomio: se refiere al valor que arroje la suma de los exponentes de variables iguales:

Así, en el término 5x 3 y 2 z 5

El grado relativo a x es 3

El grado relativo a y es 2

El grado relativo a z es 5

Referencias bibliográficas

Linea, T. P. (20 de 05 de 2018). Profesor En Linea. Obtenido de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EcuacioClasificacion.htm

Wikipedia. (20 de 05 de 2018). Wikipedia. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado